Latihan Soal Program Linear

 

Kumpulan Soal Cerita Program Linear

1. Aini, Nia, dan Nisa pergi bersama-sama ke toko buah. Aini membeli 2 kg apel, 2 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 67.000,00. Nia membeli 3 kg apel, 1 kg anggur, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp 61.000,00. Nisa membeli 1 kg apel, 3 kg anggur, dan 2 kg jeruk dengan harga Rp. 80.000,00. Tentukan harga 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk.
   
   
   Pembahasan :
   misalkan :
   apel = x
   anggur = y
   jeruk = z
   
   Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
   1). 2x + 2y + z = 67.000
   2). 3x + y + z = 61.000
   3). x + 3y + 2z = 80.000
   
   Ditanya : x + y + 4z = ....?
   
   Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. 
   
   Dari persamaan no 1 dan 2 diperoleh persamaan 4 :
   

   

   Dari persamaan no 2 dan 3 diperoleh persamaan 5 :
   

   

   Dari persamaan no 4 dan 5 diperoleh :
   

   

   
   Jadi harga untuk 1 kg apel, 1 kg anggur, dan 4 kg jeruk adalah :
   x + y + 4z = 12.000 + 18.000 + 4(7000) = Rp 58.000,00.
   
   
   
2. Pada sebuah toko buku, Ana membeli 4 buku, 2 pulpen dan 3 pensil dengan harga Rp 26.000,00. Lia membeli 3 buku, 3 pulpen, dan 1 pensil dengan harga 21.000,00. Nisa membeli 3 buku dan 1 pensil dengan harga Rp. 12.000,00. Jika Bibah membeli 2 pulpen dan 3pensil, maka tentukan biaya yang harus dikeluarkan oleh Bibah.
   
   
   Pembahasan :
   misalkan :
   buku = x
   pulpen = y
   pensil = z
   
   Dari soal, dapat disusun sistem persamaan linear sebagai berikut :
   1). 4x + 2y + 3z = 26.000
   2). 3x + 3y + z = 21.000
   3). 3x + z = 12.000
   
   Ditanya : 2y + 3z = ....?
   
   Untuk menjawab pertanyaan seperti ini umumnya yang harus kita cari terlebih dahulu adalah harga satuan masing-masing barang. Karena yang ditanya harga 2y + 3z, maka kita hanya perlu mencari harga satuan y dan z.
   
   Dari 3x + 3y + z = 21.000 dan 3x + z = 12.000, diperoleh harga satuan pulpen yaitu :
   

   

   
   
   Selanjtunya, substitusi nilai y pada persamaan 1 dan 2 sebagai berikut :
   
   Jadi, harga 2 pulpen dan 3 pensil adalah :
   2y + 3z = 2(3.000) + 3(2.400) = Rp 13.200,00.
   
   
   
3. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan sepatu wanita paling sedikit 150 pasang. Toko tersebut hanya dapat menampung 400 pasang sepatu. Keuntungan setiap pasang sepatu laki-laki adalah Rp 10.000,00 dan keuntungan setiap pasang sepatu wanita adalah Rp 5.000,00. Jika banyaknya sepatu laki-laki tidak boleh melebihi 150 pasang, maka tentukanlah keuntungan terbesar yang dapat diperoleh oleh pemilik toko.
   
   
   Pembahasan :
   Pada soal ini, untuk mengetahui keuntungan terbesar maka yang menjadi fungsi tujuan atau fungsi objektifnya adalah keuntungan penjualan sepatu. Jadi fungsi tujuannya adalah :
   F(x,y) = 10.000x + 5.000y
   
   Dengan pemisalan :
   sepatu laki-laki = x
   sepatu perempuan = y
   
   Sistem pertidaksamaan untuk soal tersebut adalah sebagai berikut :
    x + y <= 400
   100 => x <= 150
   150 => y <= 250
   Karena maksimum sepatu laki-laki hanya 150 pasang, maka maksimum sepatu perempuan = 400 - 150 = 250.
   
   Dari sistem pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh grafik sebagai berikut :
   
   

   

   Sistem pertidaksamaan linear

   
   Dari grafik jelas telihat bahwa keuntungan maksimum berada pada titik pojok paling atas yaitu titik (150,250). Maka nilai maksimum dari fungsi tujuan F(x,y) = 10.000x + 5000y adalah :
   
   F(150,250) = 150 (10.000) + 250 (5.000) = 2.750.000
   
   Jadi, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp 2.750.000,00.
   
   
   
4. Seorang pembuat kue mempunyai 8 kg tepung dan 2 kg gula pasir. Ia ingin membuat dua macam kue yaitu kue dadar dan kue apem. Untuk membuat kue dadar dibutuhkan 10 gram gula pasir dan 20 gram tepung sedangkan untuk membuat sebuah kue apem dibutuhkan 5 gram gula pasir dan 50 gram tepung. Jika kue dadar dijual dengan harga Rp 300,00/buah dan kue apem dijual dengan harga Rp 500,00/buah, tentukanlah pendapatan maksimum yang dapat diperoleh pembuat kue tersebut.
   
   Pembahasan :
   Untuk mengetahui pendapatan maksimum, maka terlebih dahulu kita menyusun sistem pertidaksamaan dan fungsi tujuan dari soal cerita tersebut. Karena yang ditanya pendapatan maksimum, maka tentu harga jual kue merupakan fungsi tujuan pada soal ini. Untuk menyusun sistem pertidaksamaan, yang perlu kita lakukan adalah menentukan variabel dan koefisiennya.
   
   
   Bahan yang tersedia:
   Tepung = 8 kg = 8000 g
   Gula = 2 kg = 2000 g
   
   Misalkan :
   kue dadar = x 
   kue apem = y 
   
   Maka jumlah tepung, gula, dan harga jual merupakan koefisien. Agar lebih mudah, kita dapat memasukkan data yang ada pada soal ke dalam bentuk tabel seperti berikut :
   
   
   

   
   
   Dari tabel di atas dapat disusun sistem pertidaksamaan sebagai berikut :
   20x + 50y = 800 ---> 2x + 5y <= 800
   10x +5y = 2000 ---> 2x + y <= 400
   x >= 0 dan y >= 0 
   dengan fungsi tujuan f(x,y) = 300x + 500y 
   
   Kemudian gambarkan sistem pertidaksamaan yang sudah disusun dalam grafik.
   Untuk garis 2x + 5y = 800
   x = 0, y = 160 ---> (0, 160)
   y = 0, x = 400 ---> (400, 0)
   
   Untuk garis 2x + y = 400
   x = 0, y = 400 ---> (0, 400)
   y = 0, x = 200 ---> (200, 0)
   
   

   

   Sistem pertidaksamaan linear

   
   Titik B merupakan titik potong garis 2x + 5y = 800 dengan garis 2x + y = 400
   2x + y = 400
   y = 400 - 2x
   
   Dengan metode substitusi :
   2x + 5y = 800
   2x + 5(400 - 2x) = 800
   2x + 2000 - 10x = 800
   -8x = -1200
   x = 150
   
   Karena x = 150, maka :
   y = 400 - 2x
   y = 400 - 2(150)
   y = 400 - 300
   y = 100
   Dengan demikian titik B (150, 100)
   
   

   Selanjutnya substitusikan titik A, B, dan C ke fungsi tujuan :
   A(0, 160) ---> F(x,y) = 300(0) + 500(160) = 80.000
   B(150, 100) ---> F(x,y) = 300(150) + 500(100) = 95.000
   C(200, 0) ---> F(x,y) = 300(200) + 500(0) = 60.000
   
   
   Jadi, pendapatan maksimum yang bisa diperoleh pedagang kue itu adalah Rp 95.000,00.

Latihan Soal Lanjutan

 

.

Latihan Soal Program Linear

1. Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
• dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg

 

2. Umur pak Andi 28 tahun lebih tua dari umur Amira. Umur bu Andi 6 tahun lebih muda dari umur pak Andi. Jika jumlah umur pak Andi, bu Andi, dan Amira 119 tahun, maka jumlah umur Amira dan bu Andi adalah …. tahun

A. 86 

B. 74 

C. 68 

D. 64

E. 58

Jawaban : C

Pembahasan : 

Misalkan Umur Pak Andi=x, umur Amira=y dan umur Ibu Andi=z

x = 28 + y (1)

z = x – 6; atau x=z+6 (2)

x + y + z = 119 (3)

dengan melakukan operasi penjumlahan (1) pada (2) didapatkan

2x = y + z + 34 atau 2x – y – z = 34 (4)

Lakukan operasi penambahan (3) pada (4) atau

x + y + z = 119

2x – y – z = 34

3x =153

Atau

x = 51

Dengan melakukan substitusi x pada (1) dan (2) didapatkan

Y = 23; z = 45

Sehingga

jumlah umur Amira (y) dan bu Andi (z) adalah y+z=23+45=68

Pengertian Program Linear

Program linear merupakan suatu program yang digunakan sebagai metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) dapat diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear.

Di dalam persoalan linear tersebut terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear adalah merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Perhatikan tabel persoalan maksimum dan minimum dibawah berikut:

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam sebuah model matematika.

Model matematika adalah pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai gambaran:

Sebuah produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model yang pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan bahan kedua 150 gr. Sedangkan komposisi model kedua tersebut terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 76 kg dan persediaan digudang untuk bahan kedua 64 kg. Harga model pertama ialah Rp. 500.000,00 dan untuk model kedua harganya Rp. 400.000,00.

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 ialah x dan model 2 ialah y, serta hasil penjualan optimal ialah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan beberapa syarat:

• Apabila jumlah maksimal bahan 1 yaitu 72.000 gr, maka 200x + 150y ≤ 72.000.
• Apabila jumlah maksimal bahan 2 yaitu 64.000 gr, maka 180x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing dari setiap model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapatkan jumlah penjualan yang maksimum yaitu:

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif yaitu fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki sebuah himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada ialah berupa titik-titik dalam diagram cartesius yang apabila koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear maka dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear bisa ditentukan dengan menggunakan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya, maka kita bisa tentukan letak titik yang menjadi nilai optimum.

Langkah-langkahnya yaitu sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada pada cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan pada garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut adalah himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki suatu kemungkinaan besar akan membuat fungsi menjadi optimum.
• Meneliti nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara, yaitu :
  • Menggunakan garis selidik, dan
  • Membandingkan nilai fungsi objektif pada tiap titik ekstrim.