Pembahasan Soal PTS Kelas X

Latihan Soal Nilai Mutlak Persiapan PTS

Contoh Soal Nilai Mutlak

Contoh 1
Tentukanlah HP  |2x – 1| = |x + 4|
Jawaban :
|2x – 1| = |x + 4|
2x – 1 = x + 4 ataupun 2x – 1 = -(x + 4)
x = 5 ataupun 3x = -3
x = 5 ataupun x = -1
Maka, HP = (-1, 5)

Contoh 2
Tentukanlah  himpunan penyelesaian  |2x – 7| = 3
Jawaban :
|2x – 7| = 3 ( 2x – 7 = 3 ataupun 2x – 7 = -3)
|2x – 7| = 3 ( 2x = 10 ataupun 2x = 4)
|2x – 7| = 3 ( x = 5 ataupun x = 2)
Maka, HP = 2, 5

Contoh 3
Tentukanlah  himpunan penyelesaian |4x + 2| ≥ 6
Jawaban :
|4x + 2| ≥ 6 (4x + 2 ≤ -6 atau 4x + 2 ≥ 6)
|4x + 2| ≥ 6 (4x ≤ -8 atau 4x ≥ 4)
|4x + 2| ≥ 6 (x ≤ -2 atau x ≥ 1)
Maka, HP = (x ≤ -2 atau x ≥ 1)
Contoh 4
Tentukan penyelesaian |3x – 2| ≥ |2x + 7|
Jawaban :
|3x – 2| ≥ |2x + 7|
⇔ 3x – 2 ≤ -(2x + 7) ataupun 3x – 2 ≥ 2x + 7
⇔ 5x ≤ -5 ataupun x ≥ 9
⇔ x ≤ -1 atau x ≥ 9
Maka, HP = (x ≤ -1 atau x ≥ 9)
Contoh 5
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari |2x – 1| < 7
Jawaban :
|2x – 1| < 7 (-7 < 2x – 1 < 7)
|2x – 1| < 7 (-6 < 2x < 8)
|2x – 1| < 7 (-3 < x < 4)
Maka, HP = (-3 < x < 4)

Latihan Soal SPLTV Persiapan PTS

Ali, Badar, dan Carli berbelanja di sebuah toko buku.

Ali membeli dua buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus.

Ali harus membayar Rp4.700.

Badar membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Badar harus membayar Rp4.300

Carli membeli tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penghapus.

Carli harus membayar Rp7.100

Berapa harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penghapus?

Penyelesaian:

■ Misalkan bahwa:

Harga untuk sebuah buku tulis adalah x rupiah,

Harga untuk sebuah pensil adalah y rupiah dan

Harga untuk sebuah penghapus adalah z rupiah.

■ Dengan demikian, model matematika yang sesuai dnegan data persoalan di atas adalah sebagai berikut.

2x + y + z = 4.700

x + 2y + z = 4.300

3x + 2y + z = 7.100

yaitu merupakan SPLTV dnegan variabel x, y, dan z.

■ Penyelesaian SPLTV itu dapat ditentukan dengan metode subtitusi, metode eliminasi atau gabungan keduanya.

Eliminasi variabel z:

2x + y + z

=

4.700

x + 2y + z

=

4.300

x + 2y + z

=

4.300

−

3x + 2y + z

=

7.00

−

x – y

=

400

−2x

=

−2.800

y

=

2.500

x

=

1.400

■ Subtitusikan nilai x = 1.400 ke persamaan x – y = 400, sehingga diperoleh:

⇒ x – y = 400

⇒ 1.400 – y = 400

⇒ y = 1.400 – 400

⇒ y = 1.000

■ Subtitusikan nilai x = 1.400 dan y = 1.000 ke persamaan 2x + y + z = 4.700, sehingga diperoleh:

⇒ 2x + y + z = 4.700

⇒ 2(1.400) + 1.000 + z = 4.700

⇒ 2.800 + 1.000 + z = 4.700

⇒ 3.800 + z = 4.700

⇒ z = 4.700 – 3.800

⇒ z = 900

Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp1.400, harga untuk sebuah pensil adalah Rp1.000, dan harga untuk sebuah penghapus adalah Rp900.

Nah, agar kalian lebih memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan merancang model matematika berbentuk Sistem Persamaan Linier 3 Variabel (SPLTV), silahkan kalian pelajari beberapa contoh soal cerita dan pembahasannya berikut ini.

Soal Cerita 1:

Sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. Jumlah ketiga angkanya sama dengan 16. Jumlah angka pertama dan angka kedua sama dengan angka ketiga dikurangi dua. Nilai bilangan itu sama dengan 21 kali jumlah ketiga angkanya kemudian ditambah dengan 13. Carilah bilangan itu.

Penyelesaian:

Misalkan bilangan itu xyz, x menempati tempat ratusan, y menempati tempat puluhan, dan z menempati tempat satuan. Jadi, nilai bilangan itu 100x + 10y + z. Berdasarkan data pada soal, diperoleh SPLTV sebagai berikut.

x + y + z = 16

x + y = z – 2

100x + 10y + z = 21(x + y + z) + 13

Atau bisa kita ubah menjadi bentuk berikut.

x + y + z = 16

x + y – z = –2

79x – 11y – 20z = 13

Sekarang kita eliminasi variabel y dengan cara berikut.

● Dari persamaan 1 dan 2

x + y + z

=

16

x + y – z

=

−2

−

2z

=

18

z

=

9

● Dari persamaan 1 dan 3

x + y + z

=

16

|× 11|

→

11x + 11y + 11z

=

176

79x – 11y – 20z

=

13

|× 1|

→

79x – 11y – 20z

=

13

+

90x – 9z

=

189

Subtitusikan nilai z = 9 ke persamaan 90x – 9z = 189 sehingga diperoleh:

⇒ 90x – 9z = 189

⇒ 90x – 9(9) = 189

⇒ 90x – 81 = 189

⇒ 90x = 189 + 81

⇒ 90x = 270

⇒ x = 3

Subtitusikan nilai x = 3 dan z = 9 ke persamaan x + y + z = 16 sehingga diperoleh:

⇒ x + y + z = 16

⇒ 3 + y + 9 = 16

⇒ y + 12 = 16

⇒ y = 16 – 12

⇒ y = 4

Jadi, karena nilai x = 3, y = 4 dan z = 9 maka bilangan itu adalah 349.

Soal Cerita 2:

Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapakah harga per kilogram salak, harga per kilogram jeruk, dan harga per kilogram apel?

Penyelesaian:

Misalkan harga per kilogram jeruk x, harga per kilogram salak y, dan harga per kilogram apel z. Berdasarkan persoalan di atas, diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

x + 3y + 2z = 33.000

2x + y + z = 23.500

x + 2y + 3z = 36.500

Untuk menyelesaikan SPLTV tersebut, kita akan menggunakan metode campuran yaitu sebagai berikut.

● Eliminasi variabel x pada persamaan 1 dan 2

x + 3y + 2z

=

33.000

|× 2|

→

2x + 6y + 4z

=

66.000

2x + y + z

=

23.500

|× 1|

→

2x + y + z

=

23.500

−

5y + 3z

=

42.500

● Eliminasi variabel x pada persamaan 2 dan 3

x + 3y + 2z

=

33.000

x + 2y + 3z

=

36.500

−

y – z

=

−3.500

y

=

z – 3.500

Subtitusikan y = z – 3.500 ke persamaam 5y + 3z = 42.500 sehingga diperoleh:

⇒ 5y + 3z = 42.500

⇒ 5(z – 3.500) + 3z = 42.500

⇒ 5z – 17.500 + 3z = 42.500

⇒ 8z – 17.500 = 42.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 42.500 + 17.500

⇒ 8z = 60.000

⇒ z = 7.500

Subtitusikan nilai z = 7.500 ke persamaan y = z – 3.500 sehingga diperoleh nilai y sebagai berikut.

⇒ y = z – 3.500

⇒ y = 7.500 – 3.500

⇒ y = 4.000

Terakhir subtitusikan nilai y = 4.000 dan nilai z = 7.500 ke persamaan x + 3y + 2z = 33.000 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut.

⇒ x + 3y + 2z = 33.000

⇒ x + 3(4.000) + 2(7.500) = 33.000

⇒ x + 12.000 + 15.000 = 33.000

⇒ x + 27.000 = 33.000

⇒ x = 33.000 – 27.000

⇒ x = 6.000

Dengan demikian, harga 1 kg jeruk adalah Rp6.000,00; harga 1 kg salak adalah Rp4.000,00; dan harga 1 kg apel adalah Rp7.500,00.

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Bentuk Umum Sistem persamaan linear tiga variabel :

Bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel x, y, dan z adalah

Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linier tiga variabel      

Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel merupakan pasangan terurut tripel bilangan (x, y, z) yang memenuhi ketiga persamaan tersebut.

            Penentuan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan  cara yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali dengan metode grafik. Yakni:

a.    Metode eliminasi

b.    Metode subsitusi

c.    Metode eliminasi-subsitusi

Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesiakam dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi. Berikut penjelasannya:

Metode Eliminasi - Subsitusi

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear (SPL) yang lebih mudah dan singkat yaitu dengan menggunakan gabungan eliminasi dan subsitusi. Dalam pelaksanaannya lebih baik dikerjakan dengan eliminasi terlebih dahulu, baru kemudian menggunakan subsitusi. Berikutlangkah-langkah penyelesaian SPLTV dengan menggunakan metode gabungan eliminasi-substitusi adalah sebagai berikut.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut:

Jawab:

SPLTV dalam kehidupan sehari-hari

Banyak terapan SPLTV dalam kehidupan sehari-hari. Berikut langkah-langkan menentukan penyelesaian SPLTV dalam masalah nyata:

Contoh:

Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual seharga Rp19.700,00. Campuran 2 kg beras A, 1 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp14.000. Sedangkan campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C dijual seharga Rp17.200,00.

a.    Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

b.   Hitunglah harga tiap kg beras A, B, dan C.

Jawab:

Misal:

a = harga beras per kg beras A

b = harga beras per kg beras B

c = harga beras per kg beras C

Contoh Soal Sistem persamaan linear tiga variabel

Soal 1
Manakah sistem persamaan dibawah ini yang merupakan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV)? Jelaskan alasannya !

Jawab:

a.    Merupakan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV), karena merupakan sistem persamaan linier yang memiliki tiga variabel dan pangkat tertingginya 1.

b.   Bukan persamaan linier tiga variabel, karena pada salah satu persamaan (persamaan 1) terdapat variabel xyang pangkat tertingginya 2.

c.    Merupakan sistem persamaan linier tiga variabel (SPLTV), karena merupakan sistem persamaan linier yang memiliki tiga variabel dan pangkat tertingginya 1.

d.  Bukan persamaan linier tiga variabel, karena hanya terdapat dua variabel.

Soal 2

Tentukan himpunan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan subsitusi!

Jawab: