Identitas Trigonometri

Terdapat dua fungsi trigonometri atau lebih yang walaupun memiliki bentuk berbeda, tetapi grafik fungsinya sama. Sebagai contoh, dua fungsi

dan

yang tampaknya berbeda, tetapi kedua fungsi tersebut memiliki grafik fungsi yang dapat digambarkan sebagai berikut.

Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa walaupun kedua fungsi tersebut tampak berbeda, tapi sebenarnya kedua fungsi tersebut sama. Hal ini berarti, untuk setiap nilai x,

Persamaan yang terakhir ini disebut sebagai identitas trigonometri, dan akan kita diskusikan pada pembahasan kali ini. Gambar berikut ini mendaftar delapan identitas trigonometri dasar.

Catatan Tiga identitas pertama (dalam kotak warna orange) disebut sebagai identitas kebalikan. Dua identitas selanjutnya (dalam kotak warna hijau) disebut sebagai identitas rasio. Sedangkan, tiga identitas terakhir (dalam kotak berwarna biru) disebut sebagai identitas Pythagoras. Dua identitas Pythagoras terakhir dapat diturunkan dari identitas sebelumnya, yaitu cos² θ + sin² θ = 1, dengan membagi kedua ruasnya secara berturut-turut dengan cos² θ dan sin² θ. Sebagai contoh, dengan membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan cos² θ, kita mendapatkan

Untuk menurunkan identitas Pythagoras terakhir, kita harus membagi kedua ruas cos² θ + sin² θ = 1 dengan sin² θ untuk mendapatkan 1 + cot² θ = csc² θ.

Setelah mengetahui kedelapan identitas trigonometri dasar di atas, selanjutnya kita akan menggunakan identitas-identitas tersebut, bersama dengan pengetahuan kita mengenai aljabar, untuk membuktikan identitas-identitas lainnya.

Ingat bahwa identitas trigonometri merupakan pernyataan yang memuat kesamaan dua bentuk untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk membuktikan identitas trigonometri, kita gunakan substitusi trigonometri dan manipulasi aljabar dengan tujuan

1. Mengubah bentuk pada ruas kiri identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kanan, atau
2. Mengubah bentuk pada ruas kanan identitas menjadi bentuk seperti pada ruas kiri.

Satu hal yang harus diingat dalam membuktikan identitas trigonometri adalah kita harus bekerja pada masing-masing ruas secara terpisah. Kita tidak boleh menggunakan sifat-sifat aljabar yang melibatkan kedua ruas identitas—seperti sifat penjumlahan kedua ruas persamaan. Karena, untuk melakukan hal tersebut, kita harus menganggap bahwa kedua ruas sudah sama, yang merupakan suatu hal yang akan kita buktikan. Intinya, kita tidak boleh memperlakukan masalah sebagai suatu persamaan.

Kita membuktikan identitas trigonometri untuk membangun kemampuan kita dalam mengubah satu bentuk trigonometri menjadi bentuk lainnya. Ketika kita bertemu dengan permasalahan dalam topik lain yang membutuhkan teknik pembuktian identitas, kita biasanya menemukan bahwa solusi permasalahan tersebut bergantung kepada bagaimana mengubah bentuk yang memuat trigonometri tersebut menjadi bentuk yang lebih sederhana. Dalam kasus ini, kita tidak harus selalu bekerja dengan persamaan.

Contoh 1: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa sin θ cot θ = cos θ.

Pembahasan Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.

Contoh 2: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa tan x + cos x = sin x (sec x + cot x).

Pembahasan Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin x. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan x dan cos x.

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.

Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.

---

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

1. Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
2. Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
3. Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
4. Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
5. Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

---

Selain petunjuk-petunjuk di atas, cara terbaik untuk menjadi mahir dalam membuktikan identitas trigonometri adalah dengan banyak latihan. Semakin banyak identitas trigonometri yang telah kita buktikan, maka kita akan semakin ahli dan percaya diri dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya. Kita tidak boleh takut untuk berhenti kemudian memulai kembali jika langkah-langkah kita menemui jalan buntu. Sebagian besar identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan menggunakan berbagai macam pembuktian. Beberapa pembuktian mungkin lebih panjang dari pembuktian yang lain.

Contoh 3: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa,

Pembahasan Pada contoh ini, pemfaktoran pembilang pada ruas kiri akan mereduksi pangkat, yaitu dari 4 menjadi 2.

Contoh 4: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan identitas trigonometri,

Pembahasan Kita dapat memulai pembuktian identitas tersebut dengan menggunakan identitas Pythagoras untuk mengubah pembilang ruas kanan, dari sin² θ menjadi 1 – cos² θ. Kemudian kita faktorkan 1 – cos² θ sebagai selisih dua kuadrat dan sederhanakan menjadi bentuk yang paling sederhana.

Contoh 5: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa tan x + cot x = sec x csc x.

Pembahasan Pertama, kita tulis bentuk yang ada dalam ruas kiri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Kemudian, kita sederhanakan ruas kiri dengan menentukan KPK untuk menjumlahkan pecahan yang dihasilkan.

Contoh 6: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan identitas trigonometri,

Pembahasan Kita memulai pembuktian identitas trigonometri ini dengan menjumlahkan pecahan-pecahan yang ada di ruas kiri dengan menyamakan penyebutnya menjadi sin α (1 + cos α). Sehingga kita harus mengalikan pecahan pertama dengan (sin α)/(sin α) dan pecahan kedua dengan (1 + cos α)/(1 + cos α).

Contoh 7: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa,

Pembahasan Kunci untuk membuktikan identitas ini adalah kita harus mengalikan pembilang dan penyebut bentuk ruas kanan dengan 1 + sin t. (Hal ini mirip dengan merasionalkan penyebut).

Perhatikan bahwa identitas di atas juga dapat dibuktikan dengan mengalikan pembilang dan penyebut bentuk yang ada dalam ruas kiri dengan 1 – sin t.

Dalam contoh-contoh sebelumnya, kita berkosentrasi pada metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan adalah identitas, yang berarti bahwa bentuk pada ruas kiri dan kanan adalah sama untuk setiap penggantian variabelnya dengan nilai di mana bentuk tersebut didefinisikan. Untuk menunjukkan suatu pernyataan bukanlah identitas biasanya lebih mudah. Yang kita perlukan hanyalah satu nilai pengganti variabel yang berada dalam domainnya, tetapi yang menyebabkan pernyataan tersebut salah. Cara ini disebut sebagai menemukan kontracontoh.

Contoh 8: Membuktikan Suatu Pernyataan Bukan Identitas

Tunjukkan bahwa cot² θ + cos² θ = cot² θ cos² θ bukanlah identitas dengan menemukan kontracontoh.

Pembahasan Karena cot θ tidak terdefinisi untuk θ = kπ dimana k adalah sembarang bilangan bulat, kita harus memilih nilai lain θ sebagai kontracontoh. Dengan menggunakan θ = π/4, kita menemukan

Sehingga, cot² θ + cos² θ ≠ cot² θ cos² θ ketika θ = π/4, sehingga pernyataan tersebut bukanlah suatu identitas. Grafik y = cot² θ + cos² θ dan y = cot² θ cos² θ dapat ditunjukkan seperti berikut.

Berdasarkan grafik di atas, kedua fungsi tersebut tampak jelas tidak sama.