Menentukan Fungsi Kuadrat

Contoh soal #1

Sebuah grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di A(1, 0) dan B(2, 0). Apabila grafik tersebut juga melalui titik (0, 4), tentukanlah persamaan fungsi kuadratnya!

Jawab

Baca Juga:

• 3 Langkah Mudah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
• Fungsi Linear: Definisi, Bentuk Grafik, Contoh Soal dan Pembahasan
• Menerapkan Fungsi Kuadrat Dalam Menyelesaikan Soal Matematika

Persamaan fungsi kuadrat dapat dinyatakan sebagai y = a(x – 1)(x – 2). Nilai a ditentukan dari keterangan bahwa fungsi kuadrat itu melalui titik (0, 4). Artinya untuk nilai x = 0 diperoleh y = 4.

y = a(x – 1)(x – 2)

4 = a(0 – 1)(0 – 2)

4 = a(–1)( –2)

4 = 2a

a = 2

Dengan demikian, persamaan fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut.

y = f(x)

y = a(x – 1)(x – 2)

y = 2(x – 1)(x – 2)

y = 2(x2 – x – 2x + 2)

y = 2(x2 –3x + 2)

y = 2x2 – 6x + 4

Contoh soal #2

Pada gambar di atas, diperlihatkan sketsa grafik dari sebuah fungsi kuadrat. Tentukanlah persamaan grafik fungsi tersebut.

Jawab

Berdasarkan gambar grafik fungsi di atas, kita dapat menetapkan bahwa titik puncak parabola di (1 ½, 0) dan melalui titik (0, 4 ½). Persamaan fungsi kuadratnya dapat ditentukan sebagai berikut.

y = f(x) = a(x – 1 ½)2

karena grafik fungsi melalui titik (0, 4 ½) maka

4 ½ = a(0 – 1 ½)2

4 ½ = 9/4 a

a = 9/2 × 4/9

a = 2

Dengan demikian, rumus fungsi kuadratnya adalah

y = f(x)

y = a(x – 1 ½)2

y = 2(x – 1 ½)2

y = 2(x2 – 2(3/2 x) + 9/4)

y = 2(x2 – 3x + 9/4)

y = 2x2 – 6x + 9/2

y = 2x2 – 6x + 4 ½

Contoh soal #3

Grafik fungsi kuadrat f melalui titik-titik A(0, –6 ), B(–1, 0) dan C(1, –10). Tentukanlah

1. Persamaan grafik fungsi kuadrat

2. Titik-Titik potong dengan sumbu-X

3. Titik puncak atau titik balik grafik fungsi f.

Jawab

Menentukan persamaan grafik

Dari keterangan mengenai ciri-ciri grafik kita dapat menentukan persamaan fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus sebagai berikut

y = f(x) = ax2 + bx + c

Pertama, kita tentukan nilai c terlebih dahulu. Nilai c dapat diketahui apabila nilai x = 0. Karena grafik melalui titik A(0, –6 ), maka

y = ax2 + bx + c ……………………………. Pers (1)

–6  = a(0)2 + b(0) + c

c = –6

jadi, sekarang kita dapatkan persamaan fungsi baru yaitu

y = ax2 + bx –6 ……………………………. Pers (2)

Kedua, kita tentukan nilai a dan b dengan menggunakan persamaan (2) dan dua titik lainnya dengan catatan nilai x ≠ 0.

Grafik melalui titik B(–1, 0), berarti x = –1 dan y = 0 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut

y = ax2 + bx –6

0 = a(–1)2 + b(–1) – 6

0 = a – b – 6

a – b = 6

a = 6 + b ……………………………. Pers (3)

Grafik melalui titik C(1, –10). berarti x = 1 dan y = –10 sehingga kita dapatkan persamaan sebagai berikut

y = ax2 + bx –6

–10 = a(1)2 + b(1) – 6

–10 = a + b – 6

a + b = –10 + 6

a + b = –4 ……………………………. Pers (4)

Dengan mensubtitusikan persamaan (3) ke persamaan (4), kita dapatkan nilai b sebagai berikut

a + b = –4

(6 + b) + b = –4

6 + 2b = –4

2b = –4 – 6

2b = –10

b = –10/2

b = –5

Dengan mensubtitusikan nilai b = –5 ke persamaan (3) atau persamaan (4), kita peroleh nilai a sebagai berikut.

a = 6 + b

a = 6 + (–5)

a = 1

Dengan demikian kita dapatkan nilai a = 1, b = –5 dan c = –6 sehingga apabila ketiga nilai tersebut kita masukkan ke persamaan (1) kita dapat rumus fungsi kuadrat sebagai berikut.

y = ax2 + bx + c

y = (1)x2 + (–5)x + (–6)

y = x2 – 5x – 6

Menentukan titik potong dengan sumbu-X

Titik potong dengan sumbu-X dapat dicari apabila nilai y = 0. Dari persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = x2 – 5x – 6, kita dapatkan titik potong dengan sumbu-X sebagai berikut.

y = x2 – 5x – 6

0 = x2 – 5x – 6

Dengan menggunakan metode pemfaktoran, kita dapatkan nilai-nilai x sebagai berikut.

(x – 6)(x + 1) = 0

x1 = 6 dan x2 = –1

Dengan demikian, titik-titik potong dengan sumbu-X adalah di titik (6 , 0) dan (–1, 0).

Menentukan titik puncak atau titik balik

Karena nilai a > 0, maka titik balik parabola merupakan titik balik minimum dimana bentuk kurva parabola adalah terbuka ke atas. Titik balik minimum dapat ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Titik balik	=	(x, y)	=	(	–b	,	D	)
					2a		–4a

Dimana D = b2 – 4ac dengan a = 1, b = –5 dan c = –6

Titik balik	=	(	–b	,	b2 – 4ac	)
			2a		–4a

Titik balik	=	(	–(–5)	,	(–5)2 – 4(1)(–6)	)
			2(1)		–4(1)

Titik balik

=

(2 ½, – 12 ¼)

Jadi, titik balik parabola y = x2 – 5x – 6 adalah di (2 ½, – 12¼)